Возможны оба варианта.
Напишите, пожалуйста, предложение целиком. Постараемся помочь с редактурой.
Возможны оба варианта, выбор часто зависит от контекста. Второй вариант, как правило, используется с притяжательным местоимением: не в (чьей-то) компетенции.
Форма мн. ч. в указанном значении используется.
Наиболее удачная форма — в кавычках со строчной буквы.
Корректно в ед. ч.
Кажется, слово "вопросы" здесь лишнее. Просто: в своей компетенции или в рамках своей компетенции.
Правильно: по вопросам, (каким?) входящим...
Сочетание некорректно.
Для постановки запятых нет оснований.