Верно: лучшие товары этой недели.
Через неделю = по истечении семи дней. На следующей неделе = в один из дней следующей недели.
Верно: с первой по пятую неделю.
Верно: 2-3 недели (две-три недели), 2-3-я неделя (вторая-третья неделя).
Корректно: организуем мероприятие на следующей неделе.
Корректно: не протянет и недели.
Лучше: на срок не более одной недели или просто на одну неделю.
Лучше перестроить фразу, например накануне.
Верно: трех недель от роду.