Корректно: в Костроме, в городе Костроме.
Лучше всего: Строительство моста через Волгу в Костроме. Но и при употреблении с родовыми словами эти названия склоняются: через реку Волгу в городе Костроме.
Правильно склонять: в городе Геленджике, города Геленджика.
Широко известные склоняемые названия согласуются со словом город: в городе Минске.
Да, название нужно склонять.
См. «Письмовник».
1. Правильно склонять: в городе Магадане. 2. Не имеет значения. Подробно см. в Письмовнике.