Правильное управление: достигнуть (достичь) чего-либо, т. е. своей достигнув цели.
Правильно: достичь цели.
Выражение добиться цели корректно, хотя более устойчивы сочетания достичь цели и добиться успеха.
Правильно только: достичь поставленной цели.
Верно: достигли цели.
Правильно: воспитательная цель.
Верно во всех значениях: устранить цели.
Оба варианта корректны. Предложение можно рассматривать как простое, с подлежащим выявить и сказуемым цель (между ними необходимо тире), а можно — как бессоюзное сложное с пояснительными отношениями (между частями нужно двоеточие).
Правилен первый вариант.