Корректно: ОМВД РФ по району Богородское.
Пишется со строчной буквы. Однако официально это не отделы, а управления (и каждое управление пишется с прописной). Структура есть на официальном сайте МВД РФ.
Правильно раздельное написание, т. к. часть лже относится к сочетанию слов: лже сотрудник МВД.
Корректно: об МВД.
Правильно: запросить информацию у МВД, сделать запрос в МВД.
Верно: в городе Москве; УМВД по г. Старый Оскол.
Корректно: боец ОМОНа, сотрудник МУП. Подробнее см. в «Письмовнике».
Все три выражения являются правильными. Отметим отличия, на которые и Вы обратили внимание. Оборот с предлогом по используется в качестве официального наименования территориального подразделения УМВД, а следовательно, предпочтителен в текстах, где важна номинативная точность. В двух других случаях сфера употребления оборотов намного шире, не стандартизирована, выбор конструкций может диктоваться смысловыми особенностями высказываний и стилистическими свойствами текстов.
