Нет, это не цельное словосочетание.
Правильно: Песнь песней.
Нет, это не вводное слово. В приведенном Вами примере прямо – частица. Обособление не требуется.
Верно: экологически чистый материал, экологичный способ окраски.
Здесь прямо – частица.
Да, так корректнее.
Поскольку это слово еще не зафиксировано нормативными орфографическими словарями, возможны оба варианта написания, однако вариант чилловый более удачен, так как отсылает к английскому слову.