Пишется через дефис: тату-мастер, тату-салон.
Нету – разговорное. Общеупотребительный и стилистически нейтральный вариант – нет.
Приставки анти- и супер- пишутся слитно: антиНАТО, суперЭВМ.
Прилагательное большевистский образовано от существительного большевизм. В ряде случаев при образовании имен прилагательных перед суффиксами -ическ- и -ск- происходит чередование |зм – ст|, ср. сарказм – саркастический, атавизм – атавистический, снобизм – снобистский.
Это слово возможно в разговорной речи.