Вы спрашиваете, как найти соединительную гласную или как ее обозначить? Найти несложно: это гласные между корнями, используемые при образовании сложных слов: сам-о-лет, пол-е-вод, птиц-е-лов. Что же касается обозначения, то соединительной гласной в этом смысле «не повезло»: если корень, приставку, суффикс всегда обозначают одинаково, то соединительную гласную по-разному: подчеркивают снизу, ставят черточку сверху, обводят кружочком... Принципиального значения это не имеет, но лучше всё же узнать у преподавателя, т. к. неправильное обозначение он может засчитать за ошибку.

Правильно:

1. В русском языке слово брус во множественном числе имеет форму брусья: При соединении брусьев между собой гвоздями..., Измеряются и нарезаются брусья нужной длины...

2. Установите подсобранную конструкцию и расклините конструкцию клиньями.

3. Укладывает свое предплечье на один из концов шины и направляет ее по задненаружной поверхности через спину.

4. В зависимости от степени разрушения зданий, сооружений и месторасположения...

5. В первые-шестые сутки; в 1—6-е сутки .

6. Склоняются обе части: кирки-лопаты, киркой-лопатой. 

Словарной кодификации в нормативных орфоэпических словарях это слово пока что не имеет. Для того чтобы установить в целях кодификации место ударения у незнакомого слова, нужно узнать, на какой слог обычно ставят ударение те люди, которые используют это слово. Слово демодекс, очевидно, используют дерматологи и косметологи. Если ориентироваться на видео (в поиске Яндекса), то можно заметить, что профессионалы ставят ударение на второй слог — демо́декс. Такое ударение не противоречит законам современного русского произношения.

В этом случае слово надеюсь вводное (с модальным значением «предположение, неуверенность»). Если части сложносочиненного предложения имеют общее вводное слово, запятая между ними не ставится (см. пункт 4 параграфа 30.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). После присоединительного союза (в начале самостоятельного предложения) запятая обычно не ставится, так как союз тесно примыкает к следующему за ним вводному слову: И надеюсь, я записала их все и это достоверная информация на все сто.

Тире ставится.

Тире уместно.

«Русский орфографический словарь» РАН (М., 2012) фиксирует оба слова: межпозвонковый и межпозвоночный. Конечно, привычнее межпозвоночный (значение – 'расположенный между позвонками'). Но, если медики настаивают на варианте межпозвонковый, можно пойти им навстречу: ошибкой это не будет, в современном русском языке такое слово есть.

Предложение построено некорректно, его следует перестроить. Неясно,к чему относятся слова за долгие годы. Возможно, следует написать впервые за долгие годы? Кроме того, непонятно, чем отличается укрепление и усиление в данном случае. Поэтому мы пока что не можем дать рекомендаций о расстановке знаков препинания.

Запятая нужна: А затем начались обычные трудовые, уже мирные будни.

Поскольку сравнительный оборот здесь по смыслу тесно связан со сказуемым (сказуемое не выражает необходимого смысла без сравнительного оборота), мы рекомендуем не ставить запятую.