1. Правильно со строчной: летние (зимние) Олимпийские игры. 2. Корректно: Параолимпийские игры. Подробнее см. здесь.
Верно: В игру "Веселая катапульта" были внесены... В непринужденной разговорной речи допустим вариант: В "Веселую катапульту" были внесены... Название игры обязательно заключается в кавычки.
Верно: Я приехал в город Москву.
Правильно: пекинская Олимпиада, зимние Олимпийские игры.
По рекомендации "Русского орфографического словаря": Параолимпийские игры.
С заглавной (прописной) буквы пишется только первое слово в составе этого названия.
Предложение "Деловая игра рассматривается как способ закрепления знаний" не является безличным. Это пассивная конструкция с подлежащим "деловая игра".
Оба предложения правильные.
Корректно: Юношеские Олимпийские игры.
Да, дефис после неизменяемого приложения нужен.
Верно так:
Орфографический словарь
параолимпиец, -ийца, тв. -ийцем, р. мн. -ийцев
Параолимпийские игры