Точное написание можно узнать в уставе организации. Вряд ли возможны марровские (одиночные) кавычки, организационно-правовая форма пишется со строчной буквы, также следует убрать пробел перед закрывающей кавычкой.
Запятая не нужна. Обратите внимание: кавычки одного рисунка рядом не повторяются. Следует использовать кавычки разного рисунка или иные способы выделения:
«Детский клуб "Солнышко"» — прочитал я на одной из вывесок.
Детский клуб «Солнышко» — прочитал я на одной из вывесок.
Следует использовать тире: врач — детский онколог (но через дефис: врач-онколог).
В официальных документах предпочтительна форма мужского рода, то есть следует выбрать первый вариант.
Оба варианта пунктуации корректны, но тире лучше лучше подчеркнет логические отношения между частями высказывания.
Запятая не нужна.
Верно: создано 32 детских и спортивных площадки.
Нужно поставить тире (длинную черточку) с пробелами.
Корректно написание через дефис. Ср. с предписаниями академического «Русского орфографического словаря» для сочетаний подобной структуры.
С относительным прилагательным: не детский взгляд (ср.: не деревянный стол).
