Слова зимний и летний в названиях Олимпийских игр пишутся строчными. Цифры лучше оставить римские. Корректно: XXXI летняя Олимпиада.
Фамилия пишется так, как записано в паспорте ее носителя. Орфографически в фамилиях возможно и -цин, и -цын. Ср.: Вицин, но: Солженицын.
Заимствованная мужская фамилия на -ин должна склоняться, но есть отличие от фамилии Фомин: в творительном падеже будет окончание -ом (Фризином, как Чаплином).
Верно: Такие предметы, как, например, химия, физика, география, вне школы могут не особенно влиять на ваш успех.
Объяснение Вы найдете в «Справочнике по пунктуации».
Литературной норме современного русского языка соответствует употребление глагола закупаться только в страдательном залоге: закупаются зимние вещи. Употребление слова закупаться в значении 'совершать покупки' – просторечие.
Такие варианты написания нередко встречались в печати. Например: Такими, например, явились кругосветные путешествия, открытие Америки, падение Персидского царства (разрушенного Александром Македонским) или китайских государств и среднеазиатских культурных центров, сокрушенных Чингизханом... [В. И. Вернадский. Биосфера и ноосфера (1938)]; В такой же холмистой местности мы затем миновали котловину Олоннохой, в которой монголы насчитывают 106 колодцев, будто бы выкопанных Чингизханом, войска которого стояли здесь во время какого-то похода. [В. А. Обручев. От Кяхты до Кульджи. Путешествие в Центральную Азию и Китай (1940)]; Я хочу через тебя все разузнать о татарском кагане Чингиз-хане. [Василий Ян. Чингиз-хан (1939)].
Корректно в кавычках: Начав обучение на направлении «физика», можно без труда перевестись на «биологию» или «химию» и получить диплом в этой области.
Это относительные, а не притяжательные прилагательные. К притяжательным прилагательным относятся прилагательные с суффиксами -ин, -ов, -ий и нулевым окончанием в начальной форме, то есть слова типа мамин, отцов, лисий.
Указанная запятая не требуется, если значение предложения: полное изучение химии рекомендуется начинать в восьмом классе. Подробно о пунктуации при оборотах, которые присоединяются предлогом начиная с, читайте в «Справочнике по пунктуации».
Слово цитрус имеет значение 'плодовое дерево или кустарник с крупными, сочными плодами, покрытыми толстой кожурой' и 'плод такого дерева, кустарника (апельсин, грейпфрут, лимон, мандарин и др.)'. Поэтому сочетание сочный цитрус корректно.
