Слово топ в значении "рейтинг" склоняется: быть в топе.
Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
Это сочетание не вводное. Оно может быть обособлено как присоединительный обстоятельственный оборот.
Это наречие может быть написано слитно (как вполоборота, вполсилы и т. д.).
Спешил быстро? Может быть, спешил ответить или хотел (старался) ответить быстро?
Первый вариант лучше, поскольку второй может быть прочитан как "почти... в городе".
Может быть, так: в работе круглого стола, КОТОРЫЙ проводится в рамках проекта?
Может быть, просто: направить запрос (и в ответ на запрос получить информацию)?
Слово международный должно быть первым, если оно характеризует собой словосочетание "молодежный проект".
Двоеточие может быть уместно, если необходимо предупредить читателя, что дальше следует перечисление.
