В названии Древняя Русь оба слова пишутся с прописной буквы. А вот прилагательное древнерусский пишется со строчной буквы. Правильно: памятники Древней Руси, но: древнерусские памятники, древнерусская литература.
Наличие формы в И объясняется следующим. Город Санкт-Петербург был основан как крепость Санктпитербурх (в честь святого Петра, небесного покровителя императора). Название было дано Петром I. Среди вариантов, встречающихся в письмах Петра Великого: Санктъпетерсъбурк (1703), Санктпитербурх (1703), Питербурх (1706), Санктпетерзбурк (1710); позже преобладают варианты с -Питер-: Санкт-ПитерБург (1714), Санктъ Питербурх (1720). В газете «Ведомости» чаще упоминается в форме Санктъпитербурх, и только с июля 1724 г. вместо Питер- начинают постоянно печатать Петер-. Очевидно, от форм с И и было образовано сокращенное Питер.
Правительство пишется с прописной буквы как официальное название руководящего органа исполнительной власти государства (а также республик – субъектов Федерации), например: Правительство Российской Федерации, Правительство Республики Дагестан, Правительство Удмуртской Республики. Но: правительство Москвы, правительство Свердловской области.
Правильно: московское время, Игорев поход.
Корректно без запятой.
Наречное выражение в конечном счете не требует выделения знаками препинания.
Возможно как слитное, так и раздельное написание.
Верно с запятой.
Запятые нужны: С уважением, Петрова Наталья Степановна, пенсионерка. Традиционно ставится запятая после слов с уважением (этим объясняется первый знак). Обособляется приложение, относящееся к имени собственному, если оно стоит после определяемого существительного (этим объясняется второй знак).
Здесь верно: продуманна.
