Правильно: чирлидинг. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Правильно: постриженник.
Если имеется в виду, что они сотрудничают между собой, верно: несколько компаний сотрудничают. Если имеется в виду сотрудничество с другой организацией, то возможны оба варианта. Форма единственного числа указывает на совокупность предметов, множественного – на отдельные предметы.
Оба варианта верны, но имеют разное значение. Выбор зависит от контекста.
Верно: сделки необоснованны. При наличии дополнения верно: сделки не обоснованы (чем-либо).
Корректно: нож Боуи (по имени изобретателя), боуи (как собственно название ножа: наточил свой боуи).
Возможны оба варианта. Конструкции первого типа более распространены.
