Правильна форма женского рода.
Корректно: Пиджей (ср.: диджей, виджей) или Пи Джей.
В кавычки может быть заключено слово "остепененность" как употребленное в необычном (неизвестном читателю) значении.
Верен первый вариант.
Восвояси – предположительно, сращение в одно слово словосочетания во своя вьси «в свои деревни, домой» или оборота во своя си «к себе». Восходит к древнерусскому языку.
Все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются. О склонении прочих фамилий читайте в "Письмовнике" на нашем портале.
Запятая не нужна.
Вы имеете в виду слово неостывший? Правильно слитное написание, если нет зависимых слов: неостывший суп, но еще не остывший суп.
Запятая не нужна: Места не столь отдаленные.
Тремпель - это вешалка ("плечики"), областное слово.
По сведениям "Википедии", Тремпель — немец, фабрикант готового платья в Харькове в XIX веке. Каждое его изделие висело на плечиках, на которых был ярлык его фирмы «Тремпель». Потому по всей Южной России вешалки для костюмов (плечики) стали называть тремпелями.
