Слово рождения не изменяется при изменении слова день. Правильно: дни рождения, информация о днях рождения.
Кипрский – прилагательное от Кипр; киприотский – от киприот (житель Кипра), означает: 'относящийся к киприотам, принадлежащий, свойственный им' (например: киприотские песни). В приведенном Вами контексте лучше использовать прилагательное кипрский: кипрское свидетельство о браке (т. е. выданное государством Кипр).
Правильно: с днем рождения и (вариант, допустимый в разговорной речи) с днем рожденья.
Корректно: свидетельство выдано такому-то, группа такая-то, факультет такой-то.
Правильно: с днем рождения; в разговорной речи и поэтических текстах допустимо: с днем рожденья.
Оба варианта правильны, выбор зависит от задач автора, см. ответ на вопрос № 276520.
Правильно: лезгин и лезгинка.
