Если это обращение к президенту страны в официальном документе, то нужна прописная буква. В остальных случаях достаточно строчной.
См. в «Горячей десятке вопросов».
Правильно с Е.
Да, фамилия склоняется: визит Барака Обамы, встреча с Бараком Обамой.
Словарная рекомендация: Послание Президента РФ Федеральному собранию РФ (Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011).
Корректно со строчных.
С прописной буквы пишутся названия высших государственных должностей и титулов (Президент Российской Федерации, Председатель Правительства Российской Федерации, Генеральный прокурор Российской Федерации, Чрезвычайный и Полномочный Посол и т. п.) в текстах официальных документов, например: Указ Президента Российской Федерации В. В. Путина.
Однако вне такого употребления (например, в тексте газетной статьи) эти слова пишутся со строчной буквы, например: президент России подписал указ, премьер-министр критиковал депутатов, генеральный прокурор выдвинул обвинение и т. п.
Название должности министр пишется со строчной буквы. Такие названия должностей, как генеральный директор, президент компании, начальник отдела и т. п., также пишутся со строчной буквы.
