Верно: четырёхактный.
Второе не не нужно, иначе смысл предложения будет очень странным.
Когда он увидел балет – это придаточное. Но такое, изъятие которого из предложения невозможно без нарушения его структуры. Поэтому запятая не ставится (см. «Правила», § 142). Ср.: ...французский посол писал, что, когда он увидел балет, был потрясен талантом крепостных людей.
Название без родового слова склоняется: поставил пластинку с "Жизелью".
Предпочтительно склонение, без выпадения гласного: Бабока, Бабоку и т. п. Допустимо также склонение с выпадением гласного: Бабка, Бабку и т. д. Тип склонения вправе выбрать носитель фамилии.
См. также 216709
См. также 288272
Если имеется в виду "те могут", то верно: Герцоги – те да!
Мужская фамилия Бажан склоняется. Корректно: Артёму Бажану.
