Да, эти имена склоняются.
Приведенное Вами предложение — цитата из письма А. П. Чехова. В изданиях, доступных в интернете, запятая в этом предложении не ставится. См., например, здесь.
Речь идет о большом количестве идей, поэтому глагол проноситься должен быть употреблен в форме множественного числа.
Предпочтительно двоеточие, поскольку перед нами бессоюзное сложное предложение с отношениями пояснения между частями.
Можно использовать слово мошенничество.
Правильно в родительном падеже: тетрадь Хадижи. Правило про «жи-ши» действует и здесь.
Правильно: Какого цвета предмет? Ср. пример употребления Какого цвета у нее глаза? в «Большом толковом словаре русского языка».
Если помнит тоже относится к городу, фразу надо править. Корректно: Сказал, что помнит город своего детства и скучает по нему.
Следует писать с одним н: вытащили раненых медведей.
Такое употребление в профессиональной речи возможно.
