Да, в этом слове выделяется приставка наи-.
Здесь можно говорить о возможности слитного и раздельного написания. Мы бы предпочли писать раздельно, т. к. здесь возможна подстановка слов, усиливающих отрицание (вовсе не обязательно). Тире между подлежащим и сказуемым, которые выражены существительными, не ставится, если между ними стоит обстоятельство или дополнение: Хороший писатель не обязательно классик.
Указанные запятые нужны.
Правильно: У нас хороший директор – Сокова. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Корректно: Единственное, чего мы не нашли, – это хороший кофе. Подлежащее и сказуемое (единственное и кофе) стоят в форме именительного падежа. Ср.: Чего мы не нашли – так это хорошего кофе.
Во всех парах согласованные определения, во-первых, объединены общим положительным впечатлением, во-вторых, связаны причинно-следственной связью («двор красивый, потому что ухоженный» и т. д.). Это предполагает постановку запятой: 1) красивый, ухоженный двор; 2) плодотворная, эффективная работа; 3) хороший, содержательный доклад.
Есть хорошие этимологические словари, есть хорошие исторические словари. Например, "Словарь русского языка XI–XVII вв.".
См. здесь.
Сказуемое - хороший.