Слово кубок в значении 'награда' пишется строчными: команда выиграла кубок.
Корректно: ...кишат крысами.
Вариант театр "Кодак" кажется наиболее удачным (если речь действительно идет о театре).
Если определение относится к обоим существительным, то сочетание будет восприниматься однозначно с определением в форме множественного числа.
Правильно: чемпионат мира, Кубок мира.