День России — поясняющее приложение к существительному праздник, оно согласуется с ним и обособляется: В связи с праздником — Днем России — 12 июня режим работы будет изменен.
Это числительные.
Запятую перед обращением нужно поставить.
Верны оба варианта, с запятыми и без них. На практике такие обороты в середине предложения чаще обособляются. Подробно см. в "Справочнике по пунктуации".
Оба варианта возможны.
Первая запятая возможна: обороты по условиям (чего-либо) могут обособляться с целью интонационно-логического выделения (решает автор текста). Вторая запятая не нужна.
Первые варианты правильные.