Смысловое различие есть: "всероссийский" подразумевает наличие представителей из всех регионов России.

Так сказать можно.

Верно с дефисом: бонус-игра.

Строго говоря, "никак не правильно". Но в рамках фамильярно-разговорной речи возможно "пощу".

Корректно: Евро-азиатский форум корпорации.

Правильно: Форум о компьютерных и видеоиграх. Или так: Форум о видео- и  компьютерных играх – чтобы у читателя не возникло сомнений, что прилагательное компьютерных относится к существительному играх.

Вы написали это название правильно. С большой буквы пишется первое слово официального названия мероприятия.

Верно: тысяче богов, тысячам богов.

Может быть, лучше сказать "дополнительный урон от чего-либо"?

Корректно с тире: форум ЕС – Россия. Выбор длины тире – не пунктуационный, а технический вопрос.