Корректно: Дельфийские игры.
Существительное Интернет пишется с прописной буквы. Однако сложные слова с первой частью интернет-... пишутся строчными буквами.
Правильно: строчные объявления.
При официальном титуловании правильно: Патриарх Московский и всея Руси. Вне такого употребления слово патриарх пишется со строчной, например: патриарх Кирилл, прием у патриарха.
Правильно: Дом Правительства.
Правильно: уссурийская тайга.
Следует писать строчными буквами.