Предпочтительно (особенно в письменной речи): рапорты. Вариант рапорта разговорный.
Верно: подать иск к кому-либо.
Правильно: Подать ходатайство председателю комиссии.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Использовать можно, но выражение может быть понято слушателем (читателем) неоднозначно в этом случае.
Оба варианта корректны.