Звучание этих слов несколько отличается: [тэ] и [т'е]. Поэтому правильнее назвать такие слова паронимами.
Слитно.
Верно: услуга «Трезвый водитель».
Употребление слова родитель (в значении 'отец') возможно, но только в разговорной речи.
Склоняется.
Нужны, если это название автобуса. Ср.: автобус, следующий по маршруту Анапа — Москва.
В разговорной речи возможны все эти варианты. Но официально: подготовка водителей к сдаче экзаменов на право управления транспортными средствами категории В; водитель, имеющий право управления транспортным средством категории В.
Верно: правитель Венецианской республики.
Слово правитель управляет родительным падежом: правитель государства, правитель мира. Вероятно, Вас смущает, что глагол править требует творительного падежа: править государством, править миром. Но это вовсе не означает, что такое же управление должно быть и у существительного, образованного от этого глагола.
Это синонимы, выбор зависит от того, как называется должность конкретного человека.