Правильно: Минобразования Амурской области.

Кавычки не требуются.

Если речь не идет об официальных названиях, верны оба варианта: оренбургский и оренбуржский. Но в названии области верно только: Оренбургская область.

Географические названия пишутся с прописной буквы, родовые наименования (слова область, район и т. п.) пишутся строчными буквами.

В прилагательных с суффиксом -ск-, образованных от географических названий, ударение чаще ставится на том же слоге, что и в названии, от которого оно образовано: Харьков – харьковский, Тамбов – тамбовский, Углич – угличский, Воронеж – воронежский. Но иногда наблюдается перенос ударения ближе к концу слова: Белгород – белгородский, Ставрополь – ставропольский, Новгород – новгородский. Объяснение простое: ударение переносится для удобства произношения. Произносить белгородский в беглой речи неудобно: после ударного слога остаются три безударных.

Правильно: Северо-Каспийский проект.

Сокращения МО и ЛО используются в неофициальной речи, но при использовании сокращений важно, чтобы читатель легко мог восстановить полное название из сокращенного, а в случае с сокращениями МО и ЛО такое возможно не всегда. Общеупотребительные сокращения для слов московский, ленинградский, область, зафиксированные академическим «Русским орфографическим словарем», такие: моск., ленингр., обл., поэтому предпочтительно: Моск. обл., Ленингр. обл. В официальном документообороте, в научных текстах и других жанрах строгой письменной речи рекомендуется использовать полное название.

Правильно: БелгорОдская область.

Верно: в области логистики.

Верен второй вариант.