В значении "опустить на воду, построив или отремонтировав (судно)" - спустить на воду (спущенный на воду).
В толковых словарях русского языка слово пустить в таком значении не зафиксировано, поэтому приведенное Вами сочетание некорректно.
Оба сочетание верны и употребляются в речи.
Корректно: на базе г. Биробиджана.
Корректно: нельзя допустить формирования...
Этот оборот не требует выделения кавычками.
Корректно: допустить к выборам, до выборов.