Корректно: «Большая двадцатка».
Кавычки не нужны.
Пишется раздельно сочетание наречия и прилагательного. Практический способ проверки: можно употребить наречие всесторонне и с другими частями речи, например: развиваться всесторонне.
Верно: план действий по развитию, расширению сети (= действий, направленных на развитие или расширение).