Предпочтительно согласование в м.р.
Кавычки не нужны.
Во всех приведенных Вами словах безударные гласные в корне непроверяемые.
Причастие удаленный образовано от приставочного глагола совершенного вида, а причастие квашеный - от бесприставочного глагола несовершенного вида. Этим объясняется разница в написании.
Без капусты щи не сваришь – корректно. А что смущает?
Знаки препинания расставлены правильно.
Если капусту квасили отдельно, а потом добавили свеклу, то верно: квашеная капуста со свеклой.