Можно сказать, что это слово устаревающее. В России телеграфная связь еще действует, поэтому назвать телеграф историзмом для русского языка в целом пока рано.

На основании (чего?) служебной записки.

Никаких. Записка составляется официально-деловым языком в свободной форме.

"Справка" не выполняет тестовых и домашних заданий.

Запятая ставится, так как это сложносочиненное предложение, то есть предложение с двумя грамматическими основами (проект был отклонен и служебная записка была подготовлена). Причин, по которым запятая в сложносочиненном предложении не ставится, здесь нет.

Существительное заначка образовано от глагола заначить и обозначает: 1) нечто прибереженное, спрятанное, убранное про запас, то, что может быть использовано, израсходовано в будущем; 2) место, где нечто спрятано, убрано от других, хранится про запас, на будущее. Предложное сочетание в заначке может выражать наречное значение признака (образа, способа) действия, состояния или предмета: хранить в заначке, быть в заначке, деньги в заначке.

При обращении к одному лицу верно: Прошу Вас...

Обособление не требуется.