Правильно: пилёный (прилагательное) и пиленный (причастие): пилёное дерево и пиленное пилой дерево (опознать причастие помогают зависимые слова).
Лучше использовать скобки: В Бирмингеме (штат Мичиган) лимузин врезался в дерево.
Сажать и посадить - это видовая пара глаголов (что делать и что сделать). Выберите подходящий по смыслу вариант: и ребенка, и дерево можно как сажать, так и посадить.
Пунктуация верна. Но тире в данном случае - авторское (интонационное).
Можем предположить: и у слова, и у дерева есть корень.
Такое употребление некорректно. Сочетаемость глагола взгромоздиться не позволяет использовать его со словами по лестнице.
Верны оба варианта.