Правильно: оказать информационную поддержку конкурсу.
Отсутствие кавычек неправильно. Верно: Государственное учреждение образования «Школа № 33»; в дательном падеже: Государственному учреждению образования «Школа № 33».
Правильно: Евгении.
Д. п. - Мебонии.
Правильно с дательным.
Да, предпочтительно именно такое склонение, без выпадения гласного. Допустимо также склонение с выпадением гласного: Апенка, Апенку и т. д. Тип склонения вправе выбрать носитель фамилии.
На практике возможны оба варианта, предпочтительный лучше уточнить у носителя фамилии.