Рекомендации справочных пособий разнятся. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. Граудиной, В. Ицковича, Л. Катлинской предлагает не склонять названия пустынь в сочетании с родовым словом. В то же время «Словарь географических названий» А. В. Суперанской рекомендует в такой же ситуации изменять по падежам названия пустынь женского рода: в пустыне Сахаре. Однако на практике чаще встречается несклоняемый вариант: в пустыне Сахара.
Склоняется и мужская, и женская фамилия.
Верны оба варианта, второй отличается разговорным оттенком.
Запятая ставится.
Такой слогораздел корректен.
Правильно: замужем за Андреем Гагаузом.
Возможны варианты: агОра и агорА. В греческом первоисточнике ударение падает на последний слог.
Верно: афинская агора.