В названиях войн с прописной буквы, как правило, пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Японо-китайская война, Русско-японская война, Англо-бурская война, Первая мировая война, Вторая мировая война, Война за независимость (в США), Война Алой и Белой розы, Война Севера и Юга (в США).
Корректно: Американо-мексиканская война (с прописной как название исторического события).
Орфографический словарь
Правильно раздельное написание: чудовищно жестокая война.
Да, нужно.
Словари фиксируют: вьетнамская война; Афганская война.
Правильно: Великая Отечественная война.
Сочетание холодная война пишется без кавычек.