При употреблении в сочетании с родовым словом согласование не требуется: жители села Ясная Поляна.
Да, такая проверка возможна.
Верно: жизнь полна ярких моментов, жизнь наполнена яркими моментами.
Это слово среднего рода. Род аббревиатуры определяется по опорному слову (министерство).
Правильно: полна чудес, наполнена чудесами.
Если имеется в виду женская фамилия Забава, то она склоняется: Забавы Полины.