О категории падежа и склонении существительных читайте в пособии Е. И. Литневской.
Оба варианта правильны.
Возможны оба варианта, выбор за автором текста.
Словарная фиксация: карате-кекусинкай. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Корректно: рассчитаться с помощью карты, рассчитаться картой (ср.: рассчитаться наличными).
Корректно: в парке "Изумрудный". Приложения, выраженные прозвищами или условными названиями, не согласуются с определяемыми словами, т. е. сохраняют начальную форму во всех падежах, например: у Всеволода Большое Гнездо; с Оленем Золотые Рога (имя индейца); в газете «Правда»; на заводе «Арсенал».
Сказуемое согласуется со словом общество (ООО): ООО "Спарта" представило, показало, разрешило.
Такой оборот речи некорректен.
Правильны обе фразы. Мы обычно встречались в парке – прошедшее время (встречались раньше). Мы обычно встречаемся в парке – настоящее время (встречаемся сейчас).
