Запятая нужна. Пропуск запятой при двукратном повторении союза возможен только в случае употребления союза и (например: Кругом было и светло и зелено); в сочетаниях с союзом ни... ни... запятая не ставится только тогда, когда сочетание фразеологическое: ни то ни сё, ни себе ни людям и т. п. См. об этом параграф 26 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Верна. См. ответ на вопрос № 286167.
Ошибок нет.
В ласкательных именах пишется суффикс -оньк- (суффикса -аньк- в современном русском языке нет).
Слова друг и другой - этимологические родственники.
Была допущена ошибка, ответ исправлен. А правило есть здесь.
Пунктуация верна (если Ивана просят не уйти из другой школы, а уйти из-за того, что он из другой школы).
