Если Вы имеете в виду список корней, в которых написание букв на месте безударных гласных не соответствует общему правилу, а подчиняется традиции, то их полный список приведен в § 35 и 36 "Правил русской орфографии и пунктуации". 

Да, использование формы мужского рода заведующим в данном контексте допустимо и даже предпочтительно, т. к. имеется в виду прежде всего должность: сообщается, что в должности заведующего отделением сейчас работает Иванова. 

Но и употребление формы женского рода не будет ошибкой.

Вводное предложение что не менее важно нужно выделить запятыми с двух сторон, то есть поставить запятую после союза и и после слова важно. Необходимость (уместность) постановки тире нужно оценивать с учетом всего предложения (в вопросе приведен только его фрагмент).

В словарях устойчивых выражений сочетание гладкий как зеркало не зафиксировано, и пропускать парные запятые при нём нет оснований. Обособление сочетания как зеркало в приведенном Вами примере необходимо ещё и потому, что без него в предложении возникает сочетание *как зеркало водяную поверхность. 

Прежде всего заметим, что мы не можем предложить к употреблению форму, которой нет в языке. Краткие формы у действительных причастий не образуются. Однако слово основополагающий является прилагательным, поэтому краткие формы у него возможны, хотя и употребляются крайне редко. Корректно: она основополагающа.

Сочетание союза и и вводного слова наоборот, выделяемого запятыми по общему правилу, возможно, например: Надо самим всё выяснить и доказать невиновность Николая и, наоборот, виновность лодочника. А. Рыбаков, Бронзовая птица. Но в приведенном Вами примере сочетание и наоборот не разделяется запятой.

Вы задаете вопросы не от того слова. Определение согласуется с определяемым словом, а оно в примере отсутствует. Так, если воспевался подвиг, то в зависимости от контекста может быть: подвигом (каким?) воспетым (творительный падеж) и о подвиге (каком?) воспетом (предложный падеж).

В приведенном Вами примере правильно написание с одной н. Отглагольное прилагательное струганый пишется с одной н, наличие приставки не- не влияет на написание. С двумя н пишется причастие струганный: струганные мастером доски (здесь струганные – причастие, т. к. есть зависимое слово).

Да, это предложение. На вопрос «Почему?» в школе обычно отвечают так: оно содержит законченную мысль, выражает сообщение. В науке предложение определяется прежде всего через понятие предикативности. Весело теплой весной – предложение, т. к. содержит предикативную основу, обладающую значением времени и реальности происходящего.

Выбор предлога зависит от смысла: на Сицилию (на остров) и в Сицилию (если нужно подчеркнуть, что речь идет об административной единице – регионе Италии, ср.: в Пьемонт, в Тоскану). В приведенном Вами примере, видимо, стоит выбрать предлог на (бежал на остров).