Мужская фамилия Цай склоняется: назначить Цая Виталия Валерьевича... Подробнее см. в «Письмовнике».
Правильно: земной шар.
Эти слова пишутся через дефис: глинтвейн-бар, детокс-бар, кальян-бар.
Правильно: экс-президент.
Предпочтительно: носков, но допустимо и носок (прежде этот вариант запрещался).
Сокращение барр. возможно.