Все названные Вами варианты возможны. Окончание -у более характерно для разговорной речи.
Корректно написание со строчной буквы: троянский конь. Это устойчивое выражение, давно закрепившееся в языке. См. словарную фиксацию.
Ломать копья – с жаром спорить о чём-либо, защищать, отстаивать что-либо.
Форма множественного числа от дно – донья, от днище – днища. У лодки может быть и дно, и днище, поэтому возможны оба варианта.
Возможны варианты, но лучше: прошу подать коньяк.
Словарь трудностей
Эти слова синонимами не являются. Мерин – это кастрированный конь. То есть слово конь обозначает некий класс предметов, а слово мерин – элемент этого класса. Слова, значения которых соотносятся таким образом, в лингвистике называют гиперонимами и гипонимами соответственно. Другие примеры: дерево и береза, птица и воробей.