Верно: Карловых Вар.

Правильно слитное написание: вариообъектив.

Запятая не ставится.

Р. п. - Варги, т. п. - Варгой.

Эти слова синонимичны в значении 'заботливо, внимательно, аккуратно,  тактично', ср. возможные варианты: он бережно накрыл ее одеялом и он осторожно накрыл ее одеялом; бережно обращаться со старинной вазой и осторожно обращаться со старинной вазой. Однако слово осторожно имеет также значение 'очень осмотрительно в своих действиях, поступках; сдержанно, слабо, нерезко', например: он осторожно заглянул в окно (нельзя сказать: он бережно заглянул в окно), а кроме того, употребляется как возглас предупреждения, предостережения: осторожно, машина! осторожно, окрашено!

Сочетание крутые яйца корректно (сочетание яйца вкрутую тоже корректно), оно зафиксировано словарями русского языка. У слова крутой отмечается значение 'доведённый варкой или замешиванием до высокой степени плотности, густоты': крутое яйцо, крутое тесто, крутая каша.