Оба слова пишутся с прописной только при официальном титуловании, в остальных случаях – со строчной: папа римский Иоанн Павел II, выборы папы римского.
К сожалению, предложение двусмысленно.
Да, мужская фамилия Дзюбанюк склоняется.
Речь идет не о парных предметах, поэтому верно: два года без отпуска подошли к концу.
О двух не составляющих пары предметах правильно: двое плавок.
Это разные падежные формы. Пара слов – именительный падеж (есть у меня к тебе пара слов), пару слов – винительный падеж (хочу сказать тебе пару слов). Это сочетание допустимо в разговорной речи.