Если имеется в виду государственное учреждение, то верно: агентство по спорту.
Нет, женское имя Айгуль не склоняется.
Не вполне понятно, что имеется в виду.
В русском языке это имя не склоняется.
Домен – группа узлов Интернета, объединенная по тематическому, географическому принципу, принадлежности частным лицам или организациям и т. п., входящая в иерархическую структуру Сети; часть адреса ресурса, отделяемая точками и определяющая область его регистрации.
В чем Вы видите ошибку? В написании слова агентство через Т? Это единственно правильный вариант написания.