за городом (жить за городом)
Ответы справочной службы
Написание с прописной буквы Дом в данном контексте возможно.
Страница ответаЭто местное название и произносить его нужно в соответствии с местной традицией. Она не нарушает языковых законов. Ср.: расположенный за городом — за́городный.
Страница ответаЕсли имеется в виду "на прогулке за городом", то верно: на природе.
Страница ответа