Сложный вопрос. С одной стороны, географические и административно-территориальные названия пишутся без кавычек. С другой стороны, именно в таком – необычном – названии кавычки могут быть уместны: они подскажут читателю (особенно незнакомому с топонимикой Новосибирска), что «Щ» – это не какое-либо сокращение или зашифрованное наименование (ср.: микрорайон Щ и уездный город N), а самое что ни на есть настоящее название.
Итак, можно дать следующую рекомендацию. Написание без кавычек нормально в изданиях, которые адресованы читателю, знающему, что такое микрорайон Щ (например, в районной газете, если таковая существует). В остальных случаях кавычки лучше поставить.
Знак мягкости ставится, чтобы показать качество звуков: [ч'], [щ'], [й']. Обычно это делают в учебной литературе для наглядности. Однако есть и другой подход: мягкость не показывают, поскольку у звуков [ч], [щ], [й] нет твердых пар, а значит, обозначение мягкости избыточно. Такой подход применим в текстах для читателей подготовленных, твердо знающих о качествах звуков русского языка.
Буква Щ в кириллице была нужна для обозначения отдельной фонемы (шта), в русском алфавите она отчасти бесполезна, хотя в некоторых говорах произносится как "шч". В Википедии об этом довольно подробно написано.
1. Частотных слов с мягким или смягченным ц в русском языке нет, поэтому произношение [ц'у]рих для носителей русского языка неудобно. Однако твердое ц в этом слове не соответствует норме литературного языка. Орфография в таких словах, как Жюль, Сен-Жюст, Жюрайтис, Шяуляй, Цюрих, Коцюбинский, Цюрупа, Цявловский, Цяньцзян, цян, подчеркивает их иноязычное происхождение и мягкое произношение согласных ж, ш, ц в языке-источнике. Эта норма написания сложилась исторически. Например, написание через ю слова Цюрих встречается еще у Н. М. Карамзина, В. А. Жуковского, А. И. Герцена, Ф. И. Буслаева. См. также «Правила русской орфографии и пунктуации» 1956 г.
2. Буквы ш и щ обозначают не вполне парные звуки. Буква щ обозначает долгий мягкий звук. Поэтому замена буквы ш на щ в том случае, если звук ш произносится смягченно, некорректна.
Правила произношения таковы. Сочетание СЧ на стыке корня и суффикса, начинающегося с буквы Ч, обычно произносится так же, как буква Щ, т. е. как долгий мягкий [шьшь], наряду с которым в ряде случаев встречается и произношение [шьч], выходящее однако из употребления. Так, [шьшь] произносится в словах разносчик, подписчик, заносчивый, писчая (бумага) и др.
На месте сочетания СЧ на стыке ясно различимой приставки и корня произносится только [шьч]: исчахнуть, расчертит, бесчестный, расчистить, бесчисленный.
В тех же случаях, когда приставка в слове уже не выделяется (т. е. когда-то, в древнерусском языке, часть слова, оканчивающаяся на -с, была приставкой, но сейчас воспринимается уже как часть корня), возможны варианты. Так, в словах счастье, счет, считать правильно только произношение [шьшь]. А в словах исчезать, исчезнуть, исчезновение возможно и произношение [шьшь], и произношение [шьч]. Так что ошибки нет ни в Вашей речи, ни в речи актеров.
Нет, здесь разные чередования. В первом случае, вероятно, Т - Щ (ср.: платок; но это сближение историки языка считают "темным"), во втором К - Ч (ср.: плакать).
Написание определяется принципом орфографии, который состоит в том, что морфема пишется единообразно: помощь, беспомощный — помощник, помощница, помощничек.
Да, есть рекомендация использовать предлог со перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласный] или с согласного [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами. Она приведена в «Кратком словаре трудностей русского языка» Н. А. Еськовой, ее можно найти в «Письмовнике» на нашем портале. Здесь важно, перед каким словом используется предлог, а не к какому слову относится, поэтому приведенная рекомендация дает основания выбрать вариант со сжатыми кулаками.
Впрочем, в письменной речи встречаются оба варианта, при этом вариант со сжатыми кулаками частотнее. В «Национальном корпусе русского языка» можно найти 31 пример использования варианта с сжатыми кулаками. Вариант со сжатыми кулаками встречается в корпусе 69 раз.
Здесь ответы на этот и другие вопросы: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php