Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.

В этом предложении пунктуация вариативна. Не ставить запятую можно на основании правила: оборот с как не выделяется запятыми, если на первый план выступает значение обстоятельства образа действия (обороты с как можно заменить в этих случаях формой творительного падежа существительного или наречием). Ср.: прилизан по-девичьи.

Однако возможно и обособление. Анализируя предложение из стихотворения М. Ю. Лермонтова Она ускользнет, как змея, порхнет и умчится, как птичка, Д. Э. Розенталь рассуждал таким образом: «Мы можем допустить, что в последнем случае автору важно было создать художественные образы путем, так сказать, чистого сравнения (подобно змее, подобно птичке, хотя сравнение сохраняется и в сочетаниях ускользнёт змеей, умчится птичкой, но с добавочным оттенком образа действия)». См.: Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Пунктуация. М., 2004.

Такая фраза некорректна: автобиография – описание своей жизни. Передать нужный смысл можно по-другому, например: Горький участвовал в написании «Автобиографии» Ф. Шаляпина, Горький помогал Шаляпину писать «Автобиографию».

См. в учебнике Е. И. Литневской, раздел Словосочетание.

Такая замена также ошибочна. Деепричастный оборот должен употребляться в сочетании с подлежащим-субъектом или глаголом, указывающим на действие субъекта: Подъезжая к станции, следите за шляпами. Проезжая мимо станции, я заметил, что с меня слетела шляпа.