Прилагательное на -ский, образованное от собственного имени, пишется со строчной буквы, кроме тех случаев, когда оно стоит в начале составного названия. Вопрос в том, приводите ли Вы в предложении официальное название библиотеки или даете описательный оборот. Ср.: учиться в московской школе и учиться в Московском государственном университете.
Фамилия Шашура (мужская и женская) склоняется. Фамилия Бакун (мужская) также склоняется.
Да, склонение мужской фамилии Шевкун обязательно.
Верно: автомобиль "Лада Ларгус".
См. «Словарь трудностей».
Корректно: заявление прокурора города Аргуна.