Первый и третий варианты возможны.
Правильно: города Чайковского. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Слово коалиция толкуется как объединение, соглашение, союз (государств, партий и т. п.) для достижения общих целей. Т. е. коалицией можно назвать и группу людей, совместно нацеленных на что-либо. Обратите внимание: прописная буква в слове коалиция возможна только в специальном стилистическом употреблении – если слову придается особо высокий смысл.
Французские фамилии, оканчивающиеся на ударную -а, не склоняются.
Такая фраза возможна.
Да, вводное слово несомненно нужно выделить запятыми.
Так написать можно.