Орфографически и грамматически корректно: факт непроживания. Обратите внимание: приведенный Вами оборот — канцелярский.
Орфографических ошибок нет.
Выражение некорректно (факт не может быть лживым или правдивым).
Это сложное предложение, запятая нужна.
Корректно: ...является доказательством того, что...
Сочетание корректно.